Numerischer Beweis für einen kleinen

Nature Astronomy (2023)Diesen Artikel zitieren

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Magnetfelder auf kleinen Skalen sind im Universum allgegenwärtig. Obwohl sie oft im Detail beobachtet werden können, sind ihre Entstehungsmechanismen nicht vollständig verstanden. Eine Möglichkeit ist der sogenannte Small-Scale-Dynamo (SSD). Vorherrschende numerische Beweise scheinen jedoch darauf hinzudeuten, dass es unwahrscheinlich ist, dass eine SSD bei sehr niedrigen magnetischen Prandtl-Zahlen (PrM) existiert, wie sie in der Sonne und anderen kühlen Sternen vorkommen. Hier haben wir hochauflösende Simulationen isothermer erzwungener Turbulenzen mit den niedrigsten bisher erreichten PrM-Werten durchgeführt. Im Gegensatz zu früheren Erkenntnissen erweist sich die SSD nicht nur für PrM bis hinunter zu 0,0031 als möglich, sondern lässt sich auch für PrM unterhalb von etwa 0,05 zunehmend leichter anregen. Wir beziehen dieses Verhalten auf das bekannte hydrodynamische Phänomen, das als Flaschenhalseffekt bezeichnet wird. Die Extrapolation unserer Ergebnisse auf Solarwerte von PrM zeigt, dass unter solchen Bedingungen eine SSD möglich wäre.

Man geht davon aus, dass astrophysikalische Strömungen anfällig für zwei Arten von Dynamoinstabilität sind. Erstens wird ein großräumiger Dynamo (LSD) durch Strömungen angeregt, die aufgrund von Rotation, Scherung und/oder Schichtung Helizität oder allgemeiner keine Spiegelsymmetrie aufweisen. Es erzeugt kohärente, dynamisch relevante Magnetfelder auf der globalen Skala des betreffenden Objekts1. Die Eigenschaften von LSDs variieren je nach den vorherrschenden generativen Effekten, wie beispielsweise der unterschiedlichen Rotation im Fall der Sonne. Konvektive Turbulenzen haben sowohl generative als auch dissipative Effekte2, und ihr Vorhandensein und ihre astrophysikalische Relevanz werden nicht mehr intensiv diskutiert.

Das Vorhandensein der anderen Art von Dynamoinstabilität, nämlich des Kleinskala- oder Fluktuationsdynamos (SSD), bleibt jedoch in der Sonnen- und Sternphysik umstritten. In einem SSD-aktiven System wird das Magnetfeld in Maßstäben erzeugt, die mit den charakteristischen Maßstäben der turbulenten Strömung vergleichbar oder kleiner als diese sind, was durch chaotische Streckung der Feldlinien bei hoher magnetischer Reynolds-Zahl3 ermöglicht wird. Im Gegensatz zum LSD erfordert die Anregung einer SSD eine deutlich stärkere Turbulenz1. Darüber hinaus wurde die Theorie aufgestellt, dass es immer schwieriger wird, ein SSD bei sehr niedriger magnetischer Prandtl-Zahl PrM (Lit. 4,5,6,7,8,9,10), dem Verhältnis von kinematischer Viskosität ν und magnetischem Diffusionsvermögen, anzuregen η. In der Sonne kann PrM Werte von nur 10−6–10−4 erreichen (Lit. 11), was die Existenz einer SSD ernsthaft in Frage stellt. Numerische Modelle von SSDs in oberflächennaher Sonnenkonvektion arbeiten typischerweise bei PrM ≈ 1 (Ref. 12,13,14,15,16,17,18) und umgehen so das Problem von Dynamos mit niedrigem PrM.

Eine leistungsstarke SSD kann möglicherweise einen großen Einfluss auf die dynamischen Prozesse in der Sonne haben. Es kann beispielsweise den Drehimpulstransport und damit die Erzeugung einer differentiellen Rotation beeinflussen19,20, mit dem LSD interagieren21,22,23,24,25 oder über einen verbesserten photosphärischen Poynting-Fluss zur koronalen Erwärmung beitragen26. Daher ist es von großer Bedeutung zu klären, ob eine SSD in der Sun existieren kann oder nicht. Beobachtend ist immer noch umstritten, ob das kleinräumige Magnetfeld auf der Sonnenoberfläche Beiträge von der SSD hat oder ausschließlich auf die Verwirrung des großräumigen Magnetfelds durch die turbulenten Bewegungen zurückzuführen ist27,28,29,30,31 ,32. Diese Studien zeigen jedoch eine leichte Präferenz für die Zyklusunabhängigkeit der kleinräumigen Felder. SSDs mit kleinem PrM sind auch wichtig für das Innere von Planeten und für Flüssigmetallexperimente33.

Verschiedene numerische Studien haben über zunehmende Schwierigkeiten bei der Anregung des SSD bei abnehmendem PrM berichtet (Ref. 6,10,34), was die theoretischen Vorhersagen bestätigt. Aktuelle numerische Modelle erreichen jedoch nur PrM = 0,03 unter Verwendung expliziter physikalischer Diffusion oder einen etwas niedrigeren (geschätzten) PrM, der auf künstlicher Hyperdiffusion beruht7,8. Um noch niedrigere PrM zu erreichen, muss man die Gitterauflösung massiv erhöhen (siehe auch Lit. 35). Um die SSD anzuregen, ist eine magnetische Reynolds-Zahl (ReM) erforderlich, die typischerweise größer als 100 ist; daher impliziert beispielsweise PrM = 0,01 eine flüssige Reynolds-Zahl Re = 104, wobei \({{{\rm{Re}}}}={u}_{{{{\rm{rms}}}}}\ ell /\nu\), wobei urms die volumenintegrierte quadratische Mittelgeschwindigkeit, ℓ eine charakteristische Skala der Geschwindigkeit und ReM = PrMRe ist. In diesem Artikel gehen wir diesen Weg und senken PrM mithilfe hochauflösender Simulationen erheblich.

Wir beziehen Simulationen mit Auflösungen von 2563 bis 4.6083 Gitterpunkten und Re = 46 bis Re = 33.000 ein. Dadurch können wir den Parameterraum von PrM = 1 bis PrM = 0,0025 erkunden, der näher am Sonnenwert liegt als in früheren Studien untersucht. Für jeden Lauf messen wir die Wachstumsrate λ des Magnetfelds in seinem kinematischen Stadium und bestimmen, ob ein SSD angeregt wird oder nicht.

Um eine eingehende Untersuchung der Wirkung von PrM zu ermöglichen, lassen wir großräumige Effekte wie Schichtung, Rotation und Scherung weg. Wir vermeiden die übermäßigen Integrationszeiten, die zur Simulation von Konvektion erforderlich sind, indem wir die turbulente Strömung explizit unter isothermen Bedingungen antreiben. Unser Simulationsaufbau besteht aus einem vollständig periodischen Kasten mit einer zufälligen Volumenkraft (Einzelheiten siehe Methoden); Die Strömung weist eine Mach-Zahl von etwa 0,08 auf. In Abb. 1 visualisieren wir die Geschwindigkeit und die Magnetfelder eines der Fälle mit der höchsten Auflösung und -Reynolds-Zahl. Wie bei Turbulenzen mit niedrigem PrM zu erwarten ist, weist die Strömung viel feinere, fraktalartige Strukturen auf als das Magnetfeld. Beachten Sie, dass sich alle unsere Ergebnisse auf die kinematische Phase des SSD beziehen, in der die magnetische Feldstärke viel zu schwach ist, um den Fluss zu beeinflussen, ansonsten aber willkürlich ist.

Strömungsgeschwindigkeit (links) und magnetische Feldstärke (rechts) aus einem hochauflösenden SSD-aktiven Lauf mit Re = 18.200 und PrM = 0,01 auf der Oberfläche der Simulationsbox.

In Abb. 2 visualisieren wir die Wachstumsrate λ als Funktion von Re und ReM. Wir finden positive Wachstumsraten für alle Laufreihen mit konstantem PrM, wenn ReM groß genug ist. λ nimmt erwartungsgemäß immer mit zunehmendem ReM zu. Überraschenderweise sind die Wachstumsraten im Intervall von Re = 2.000 bis Re = 10.000 deutlich geringer als darunter und darüber. Mit den verwendeten ReM-Werten entspricht dies ungefähr einem PrM-Intervall von etwa 0,1 bis 0,04.

Die Rauten repräsentieren die Ergebnisse dieser Arbeit und die Dreiecke repräsentieren die Ergebnisse von Ref. 10. Die Farbkodierung gibt den Wert der normalisierten Wachstumsrate λτ mit τ = 1/urmskf an, eine grobe Schätzung für die Umsatzzeit. Die gestrichelten Linien zeigen die konstante magnetische Prandtl-Zahl PrM. Die weißen Kreise zeigen eine Wachstumsrate von Null für bestimmte PrM an, die sich aus der Anpassung an die kritische magnetische Reynolds-Zahl ergibt, wie in Abb. 3 dargestellt. Anpassungsfehler werden durch gelb-schwarze Balken gekennzeichnet (Ergänzungsabschnitt 5). Die Hintergrundfarben, einschließlich der dünnen schwarzen Linie (Nullwachstum), werden durch lineare Interpolation der Simulationsdaten zugewiesen. Die grüne gestrichelte Linie zeigt die Potenzgesetzanpassung des kritischen ReM für PrM ≤ 0,08 mit einer Potenz von 0,125 (Abb. 3b).

Die Wachstumsraten für PrM = 0,1 stimmen sehr gut mit denen aus Lit. überein. 10, angedeutet durch Dreiecke in Abb. 2. Aus Abb. 2 sehen wir deutlich, dass die kritische magnetische Reynolds-Zahl \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}} }}}^{{{{\rm{crit}}}}}\), definiert durch die Wachstumsrate λ = 0, steigt zunächst als Funktion von Re und fällt dann für Re > 3 × 103 (siehe die dünne schwarze Linie). ). Betrachtet man \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{\rm{crit}}}}}\) als Funktion der magnetischen Prandtl-Zahl PrM steigt sie zunächst mit abnehmendem PrM und nimmt dann für PrM < 0,05 ab. Daher ist hier eine SSD leichter anzuregen als für 0,05 < PrM < 0,1. Wir konnten sogar eine nahezu marginale, positive Wachstumsrate für PrM = 0,003125 finden. Die Abnahme von λ bei niedrigem PrM ist ein wichtiges Ergebnis, da angenommen wurde, dass die SSD noch schwerer4,9 oder zumindest genauso schwer7,8 anzuregen ist, wenn PrM weiter von zuvor untersuchten Werten abnimmt. Die Wachstumsraten stimmen qualitativ mit den früheren Arbeiten bei niedrigem PrM überein (Lit. 6,7,8).

Für eine genauere Bestimmung von \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\ ) zeichnen wir als nächstes die Wachstumsraten für festes PrM als Funktion von ReM auf (Abb. 3a). Die Daten stimmen mit \(\lambda \propto \ln ({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}/{{{{\rm{Re }}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}})\) wie theoretisch vorhergesagt36,37. Passend dazu können wir \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}} }\) als Funktion von PrM (Abb. 3b). Dieses Diagramm zeigt deutlich, dass es drei verschiedene Bereiche der Dynamo-Anregung gibt. Wenn PrM im Bereich 1 ≥ PrM ≥ 0,1 abnimmt, wird es viel schwieriger, die SSD anzuregen. Im Bereich 0,1 ≥ PrM ≥ 0,04 ist die Anregung am schwierigsten mit geringer Variation von \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{ {\rm{krit}}}}}\). Für PrM ≤ 0,04 wird es wieder einfacher, wenn PrM abnimmt. In Refs. 7,8 fanden die Autoren bereits einen Hinweis auf \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{\rm{crit} }}}}\) mit sinkendem PrM einzupendeln, jedoch nur bei Verwendung künstlicher Hyperdiffusion. In ähnlicher Weise gilt für unsere Fehlerbalken eine Konstante \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}} }}\) kann für 0,01 < PrM < 0,1 nicht ausgeschlossen werden. Bei PrM = 0,005 lässt der Fehlerbalken jedoch den Schluss zu, dass \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm {crit}}}}}\) ist hier niedriger als bei PrM = 0,05. Dies bestätigt erneut unser Ergebnis, dass \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\ ) nimmt mit PrM bei sehr niedrigem PrM ab.

a, Normalisierte Wachstumsrate λτ als Funktion der magnetischen Reynolds-Zahl ReM für Simulationssätze mit fester magnetischer Prandtl-Zahl PrM, angezeigt durch verschiedene Farben. Logarithmische Funktionen \(\lambda \tau \propto \ln ({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}/{{{{\rm{Re} }}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{\rm{crit}}}}})\) gemäß Lit. 36,37 wurden separat an die einzelnen Sätze angepasst, wie durch die farbigen Linien angezeigt (siehe die gestrichelte Linie für die mittlere Steigung). b, Kritische magnetische Reynolds-Zahl \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\ ) als Funktion von PrM, erhalten aus den Anpassungen in a. Die Fehlerbalken zeigen den Anpassungsfehler (Ergänzungsabschnitt 5). Die Raute zeigt einen Lauf mit einer Wachstumsrate λ ≈ 0 an; daher repräsentiert sein ReM \(\sim {{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}} \) für das verwendete PrM = 0,003125. Die rot gestrichelte Linie ist eine Potenzgesetzanpassung \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}} }}}\propto {\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0,125}\), gültig für PrM ≲ 0,08. Der grau schattierte Bereich zeigt das PrM-Intervall an, in dem der Dynamo am schwersten anzuregen ist (\({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{ \rm{crit}}}}}\gtrsim 150\)).

Für PrM ≤ 0,05 ist die Abnahme von \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{\rm{crit}}}} }\) mit PrM lässt sich gut durch das Potenzgesetz \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{ krit}}}}}\propto {\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0,125}\). Eine Extrapolation auf die Sonne und sonnenähnliche Sterne würde zu \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{ krit}}}}}\ungefähr 40\) bei PrM = 10−6, was bedeutet, dass wir erwarten können, dass eine SSD vorhanden ist. Für die Erhöhung von Re durch Verringerung von ν wäre es vernünftig zu behaupten, dass die statistischen Eigenschaften des Flusses und damit \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}} }}^{{{{\rm{crit}}}}}\) unabhängig von PrM werden. Allerdings sind Episoden von nichtmonotonem Verhalten von \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{\rm{crit}}} }}\) bei Annäherung an diese Grenze ist nicht auszuschließen.

Die wohlbestimmte \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\)-Abhängigkeit auf PrM zusammen mit seinen Fehlerbalken und der Potenzgesetzanpassung wurden zu Abb. 2 hinzugefügt und stimmen sehr gut mit der dünnen schwarzen Linie für λ = 0 überein, die aus den Wachstumsraten interpoliert wurde.

Als nächstes suchen wir nach Antworten auf die offensichtliche Frage, die sich stellt: Warum ist die SSD in einem bestimmten mittleren Bereich des PrM schwerer anzuregen und bei niedrigeren und höheren Werten einfacher? Dazu untersuchen wir die kinetischen und magnetischen Energiespektren einer repräsentativen Teilmenge der Läufe (Ergänzungstabelle 2). Wir zeigen in Abb. 4 die Spektren von zwei Beispielfällen: Lauf F005 mit PrM = 0,05 prüft das PrM-Intervall der behinderten Dynamowirkung, während Lauf H0005 mit PrM = 0,005 deutlich außerhalb liegt (siehe ergänzende Abbildungen 1 und 1). 2 für Spektren anderer Fälle).

Kinetische (oben) und magnetische (unten) Energiespektren für zwei beispielhafte Läufe mit Re = 7.958 und PrM = 0,05 (links) und Re = 32.930 und PrM = 0,005 (rechts). In der mittleren Reihe werden die kinetischen Spektren um k5/3 kompensiert. Vertikale Linien zeigen die Antriebswellenzahl kf (grün durchgezogen), die Wellenzahl des Peaks des Engpasses kb (rot durchgezogen) und seinen Startpunkt kbs (rot gepunktet), die Wellenzahl der viskosen Dissipation kν (orange) und die Wellenzahl der ohmschen Dissipation \({k }_{\eta }={k}_{\nu }{\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{3/4}\) (dunkelblau) und die charakteristische magnetische Wellenzahl kM (hellblau). Alle Spektren werden über die kinematische Phase gemittelt, woraufhin jedes einzelne magnetische Spektrum durch sein Maximum normiert wurde, wodurch das exponentielle Wachstum herausgerechnet wurde.

In allen Fällen folgt die kinetische Energie als Funktion der Wellenzahl k eindeutig einer Kolmogorov-Kaskade mit Ekin ∝ k−5/3 im Inertialbereich. Bei der Kompensation mit k5/3 finden wir den bekannten Flaschenhalseffekt38,39: einen lokalen Anstieg der spektralen Energie, abweichend vom Potenzgesetz, wie er sowohl in Flüssigkeitsexperimenten40,41,42 als auch in numerischen Studien43,44 gefunden wird. Es wurde postuliert, dass es sich negativ auf das SSD-Wachstum auswirkt4,10. Für das magnetische Spektrum hingegen, das nur für PrM ≤ 0,005 deutlich sichtbar ist, finden wir ein Potenzgesetz nach Emag ∝ k−3. Eine 3/2-Steigung bei niedrigen Wellenzahlen, wie in Lit. vorhergesagt. 45 ist nur in den Läufen mit PrM nahe eins zu sehen, während bei den Läufen mit mittlerem und niedrigem PrM der positive Steigungsteil des Spektrums schrumpft, um nur die niedrigsten k-Werte abzudecken, und die steilen negativen Steigungen bei hohen k-Werten werden prominent. Eine steile negative Steigung in den magnetischen Leistungsspektren wurde auch von Ref. beobachtet. 7 für PrM leicht unter eins. Die Autoren schlagen jedoch eine vorläufige Potenz von −1 vor, da die −3-Steigung für ihre PrM-Werte noch nicht deutlich sichtbar ist.

Bei der Analyse unserer Simulationen verfolgen wir die folgende Strategie. Für jedes Spektrum bestimmen wir die Wellenzahl des Engpasses, kb, als Ort seines Maximums im (geglätteten) kompensierten Spektrum, zusammen mit seinem Startpunkt kbs < kb an der Stelle mit 75 % des Maximums (Abb. 4, Mitte). Zusätzlich berechnen wir eine charakteristische magnetische Wellenzahl, definiert als kM = ∫kEmag(k)kdk/∫kEmag(k)dk, die oft mit der Energietragsskala verbunden ist. Darüber hinaus berechnen wir die Wellenzahl der viskosen Dissipation \({k}_{\nu }={({\epsilon }_{{{{\rm{K}}}}}/{\nu }^{3})} ^{1/4}\) nach der Kolmogorov-Theorie, wobei ϵK die viskose Dissipationsrate 2νS2 mit dem spurlosen Dehnungstensor der Strömung, S, ist. Aus den Beziehungen zwischen diesen vier Wellenzahlen (in der Ergänzungstabelle 2 aufgeführt) Wir ziehen Erkenntnisse über das beobachtete Verhalten von \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}} }\) bezüglich PrM.

Wir zeichnen kb/kν und kbs/kν als Funktionen von PrM in Abb. 5 auf. Wie erwartet hängt kb/kν oder das Verhältnis der viskosen Skala zur Größe des Engpasses nicht wie der Engpass von PrM ab ein rein hydrodynamisches Phänomen. Der Beginn der Engpass-Kbs sollte ebenfalls nicht von PrM abhängen, aber die niedrigen Re-Werte für PrM = 1 bis PrM = 0,1 führen zu scheinbar dünneren Engpässen, also einer unsystematisch schwachen Abhängigkeit. Der rot schattierte Bereich zwischen kb und kbs ist der Teil des Engpasses mit niedriger Wellenzahl, in dem die Steigung des Spektrums größer (weniger negativ) als –5/3 ist (Werte der modifizierten Steigung αb und Ergänzungsabschnitt 1 finden Sie in der Ergänzungstabelle 2). für eine Diskussion). Wir stellen fest, dass αb ≈ −1,3 … −1,5 und daher deutlich von −5/3 abweichen kann. Eine Überzeichnung der kM/kν-Kurve zeigt, dass sie den rot schattierten Bereich genau dort schneidet, wo der Dynamo am schwersten anzuregen ist (Bereich II). Dies lässt uns den Schluss ziehen, dass die flachere Steigung des Teils des Engpasses mit niedriger Wellenzahl tatsächlich für die Verstärkung von \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}} verantwortlich sein könnte. }}^{{{{\rm{crit}}}}}\) im Intervall 0,04 ≤ PrM ≤ 0,1. Anhand dieses Diagramms können wir nun die drei Bereiche der Dynamo-Anregung klar erklären. Für 0,1 ≤ PrM ≤ 1 sind der Teil des Engpasses mit niedriger Wellenzahl und die charakteristische magnetische Skala vollständig entkoppelt. Dadurch lässt sich die SSD leicht erregen (Region I). Für 0,04 ≤ PrM ≤ 0,1 (grau, Region II) ist der Dynamo aufgrund der flacheren Steigung der kinetischen Spektren am schwersten anzuregen. Im Bereich III, wo PrM ≤ 0,04 ist, sind der Teil des Engpasses mit niedriger Wellenzahl und die charakteristische magnetische Skala wiederum vollständig entkoppelt, wodurch der Dynamo leichter angeregt werden kann.

Wir zeigen seinen Peak kb und seinen Startpunkt kbs in Rot, die charakteristische magnetische Wellenzahl kM in Hellblau und die ohmsche Verlustwellenzahl kη in Dunkelblau. Der rot schattierte Bereich zwischen kb und kbs entspricht dem Teil des Engpasses mit niedriger Wellenzahl, wo die turbulente Strömung rauer ist als bei einem Potenzgesetz von −5/3. Die römischen Zahlen geben die drei unterschiedlichen Bereiche der Dynamo-Erregung an. Der Bereich des schwächsten Wachstums (II) ist grau überzeichnet. Die charakteristische magnetische Wellenzahl kM kann durch zwei Potenzgesetze (schwarze gestrichelte Linien) angepasst werden: \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k}_{\nu }\propto {\ Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0,54}\) für PrM ≥ 0,05 und \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k} _{\nu }\propto {\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0,71}\) für PrM ≤ 0,05. Alle Wellenzahlen werden durch das viskose kν normiert. Wir stellen fest, dass der Dynamo am schwersten anzuregen ist, wenn kM auf der Seite der Engstelle mit niedriger Wellenzahl liegt. Das Verlassen dieses Bereichs hin zu niedrigeren oder höheren Wellenzahlen erleichtert die Anregung des Dynamos. Der Einschub zeigt kM/kη als Funktion von PrM.

Darüber hinaus stellen wir fest, dass die Abhängigkeit von kM/kν von PrM auch zwischen den Regionen unterschiedlich ist. Im Bereich I hängt kM/kν von PrM über \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k}_{\nu }\propto {\Pr }_{{{{ \rm{M}}}}}^{0.54}\) und im Bereich II und III über \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k}_{\nu } \propto {\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0,71}\). Dies wird besonders interessant, wenn man die charakteristische magnetische Wellenzahl kM mit der ohmschen Verlustwellenzahl vergleicht, die definiert ist als \({k}_{\eta }={k}_{\nu }{\Pr }_{{{{\rm {M}}}}}^{3/4}\). In Region I finden wir einen bemerkenswerten Unterschied zwischen kM und kη in Wert und Skalierung. Allerdings kommt die Skalierung von kM in Region III der 3/4-Skalierung von kη sehr nahe. Dieses Verhalten ist im Einschub von Abb. 5 noch besser zu erkennen, wo das Verhältnis kM/kη 0,3 für PrM = 1 beträgt und bei abnehmendem PrM gegen Eins tendiert, aber wahrscheinlich unter 0,75 gesättigt ist.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die SSD im Gegensatz zu früheren Erkenntnissen für magnetische Prandtl-Zahlen unter 0,04 zunehmend leichter anzuregen ist und daher sehr wahrscheinlich in der Sonne und anderen kühlen Sternen existiert. Vorausgesetzt, dass die Sättigung auf ausreichend hohen Niveaus liegt, wurde vorgeschlagen, dass die SSD die Dynamik sonnenähnlicher Sterne stark beeinflusst: Frühere numerische Studien, wenn auch bei PrM ≈ 1, deuten darauf hin, dass dieser Einfluss beispielsweise den Drehimpulstransport19,20 und die beeinflusst LSD21,22,23,24,25. Unsere kinematische Studie zeigt jedoch nur, dass eine positive Wachstumsrate bei sehr niedrigem PrM möglich ist, nicht jedoch, ob eine SSD in der Lage ist, dynamisch wichtige Feldstärken zu erzeugen. Da die ReM der Sonne und sonnenähnlicher Sterne mehrere Größenordnungen höher ist als die extrapolierte \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^ {{{{\rm{crit}}}}}\) Wert von 40, wir erwarten dennoch dynamisch wichtige SSDs, wie durch PrM = 1-Simulationen angezeigt15. Numerische Simulationen mit PrM bis hinunter zu 0,01 zeigen jedoch eine Abnahme der Sättigungsstärke mit abnehmendem PrM (Lit. 46).

Die Ergebnisse unserer Studie stimmen gut mit früheren numerischen Studien überein, wobei teilweise überlappende PrM-Bereiche berücksichtigt wurden6,7,8,10. Diese Studien fanden einige Diskrepanzen mit der Kazantsev-Theorie45 für niedrige PrM, zum Beispiel die Einengung des positiven Kazantsev-Spektrums bei niedrigen und mittleren Wellenzahlen und das Auftreten einer negativen Steigung stattdessen bei großen Wellenzahlen7. Wir könnten dieses Regime auf noch niedrigere PrM ausweiten und diese Diskrepanzen daher weiter untersuchen. Für PrM ≤ 0,005 stellen wir fest, dass das magnetische Spektrum eine Potenzgesetz-Skalierung k−3 aufweist, die wesentlich steiler ist als die in Lit. vorgeschlagene vorläufige k−1-Skalierung. 7 für 0,03 ≲ PrM ≲ 0,07 (jedoch nur für Hyperdiffusivität achter Ordnung). Dieser Befund eines so steilen Potenzgesetzes im magnetischen Spektrum stellt die aktuellen theoretischen Vorhersagen in Frage und könnte darauf hindeuten, dass sich die SSD, die bei niedrigem PrM arbeitet, grundlegend von der SSD bei PrM ≈ 1 unterscheidet.

Zweitens stellen wir fest, dass die Wachstumsraten in der Nähe des Beginns einer ln(ReM)-Abhängigkeit folgen, wie von den Referenzen vorhergesagt. 36,37, und kein \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{1/2}\), wie es sich aus dem Intertial ergeben würde -Reichweitengesteuerte SSDs1,7. Wir beobachten auch keine Tendenz der Wachstumsrate, beim höchsten PrM unabhängig von ReM zu werden, was ein Hinweis auf eine von der Außenskala angetriebene SSD sein könnte, wie in Lit. postuliert. 7. Darüber hinaus finden wir, dass der Vorfaktor von \(\gamma \propto \ln ({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}/{ {{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}})\) ist mit seinem Mittelwert nahezu konstant 0,022, in Übereinstimmung mit 0,023 von Ref. 10. Ein konstanter Wert bedeutet, dass die logarithmische Skalierung unabhängig von PrM ist und allgemeingültig zu sein scheint.

Drittens stellen wir fest, dass die gemessene charakteristische magnetische Wellenzahl kM immer kleiner ist als die geschätzte kη, und darüber hinaus folgt kM nicht immer der theoretisch vorhergesagten Skalierung von \({k}_{\eta }\propto {\Pr }_ {{{{\rm{M}}}}}^{3/4}\) mit PrM. Für Region I, wo PrM nahe bei 1 liegt, beträgt diese Diskrepanz bis zu einem Faktor drei und die Abweichung von der erwarteten PrM-Skalierung ist hier am deutlichsten. Diese Diskrepanzen wurden mit den numerischen Anordnungen in Verbindung gebracht, die Energie auf einer Antriebsskala injizierten, die weit über der Dissipationsskala lag, d. h. kf ≪ kη (Lit. 1). Darüber hinaus weisen unsere Läufe in der Region I auch relativ niedrige Re auf, sodass numerische Effekte nicht auszuschließen sind. In Region III (niedriges PrM) nähert sich kM/kη dem konstanten Offset-Faktor von 0,75. Daher nähert sich die Skalierung von kM/kη mit PrM dem erwarteten Wert. Dieses Ergebnis zeigt erneut, dass sich die SSD bei niedrigem PrM von der bei PrM ≈ 1 unterscheidet.

Eine Zunahme von \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\) mit abnehmender Im Lichte der Theorie und früherer numerischer Studien wurde erwartet, dass PrM gefolgt von einer asymptotischen Abflachung für PrM ≪ 1 erfolgt. Stattdessen fanden wir nichtmonotones Verhalten als Funktion von PrM; wir könnten es mit dem hydrodynamischen Phänomen des Engpasses in Verbindung bringen. Wenn die charakteristische magnetische Wellenzahl im positiven Gradiententeil des kompensierten Spektrums liegt, wo die spektrale Steigung deutlich von –5/3 auf etwa –1,4 reduziert ist, ist der Dynamo am schwersten anzuregen (0,1 ≥ PrM ≥ 0,04). Bei höherem oder niedrigerem PrM lässt sich der Dynamo immer leichter anregen. Die lokale Änderung der Steigung aufgrund des Engpasses wurde oft mit einer Zunahme der „Rauhigkeit“ der Strömung in Verbindung gebracht1,10,43, von der auf der Grundlage theoretischer Vorhersagen4,9 der kinematischen Kazantsev-Theorie45 erwartet wird, dass sie die Dynamo-Anregung verhärtet. In Übereinstimmung mit der Theorie scheint der rauheitserhöhende Teil des Engpasses in unseren Ergebnissen entscheidend zu sein, jedoch nur, wenn kM als Kriterium verwendet wird. Die Verwendung von kη würde hingegen darauf hindeuten, dass der Höhepunkt des Engpasses entscheidend ist10. Eine solche Interpretation erscheint falsch, da die hier verwendete grobe Schätzung von kη das magnetische Spektrum nicht angemessen darstellt und der Peak des Engpasses nicht mit dem Maximum der „Rauigkeit“ zusammenfällt.

Für unsere Simulationen verwenden wir einen kubischen kartesischen Kasten mit der Kantenlänge L und lösen die isothermen magnetohydrodynamischen Gleichungen ohne Schwerkraft, ähnlich wie in den Referenzen. 5,47.

Dabei ist u die Strömungsgeschwindigkeit, cs die Schallgeschwindigkeit, ρ die Massendichte, B = ∇ × A das Magnetfeld, wobei A das Vektorpotential und ∇ der Gradientenvektor ist. J = ∇ × B/μ0 ist die Stromdichte mit magnetischer Vakuumpermeabilität μ0, während ν und η konstante kinematische Viskosität bzw. magnetische Diffusionsfähigkeit sind. Der Dehnungsratentensor Sij = (ui,j + uj,i)/2 − δij∇ ⋅ u/3 ist spurlos, wobei δij das Kronecker-Delta bezeichnet und für ihre Indizes i und j die Einstein-Notation Konvektion gilt. Die Antriebsfunktion f liefert zufällige, nicht-helicale transversale ebene Wellen in der Zeit, die in jedem Zeitschritt zur Impulsgleichung hinzugefügt werden (Einzelheiten siehe Lit. 5). Die Wellenzahlen des Antriebs liegen in einem schmalen Band um kf = 2k1 mit k1 = 2π/L. Seine Amplitude ist so gewählt, dass die Machzahl Ma = urms/cs immer etwa 0,082 beträgt, wobei \({u}_{{{{\rm{rms}}}}}=\sqrt{{\langle {{{{ \bf{u}}}}}^{2}\rangle }_{V}}\) ist der volumen- und zeitgemittelte Effektivwert. Die Ma-Werte aller Läufe sind in der Ergänzungstabelle 1 aufgeführt. Um die Wachstumsrate λ zu normalisieren, verwenden wir eine geschätzte Umsatzzeit τ = 1/(urmskf)≈ 6/(k1cs). Die Randbedingungen sind für alle Größen periodisch und wir initialisieren das Magnetfeld mit schwachem Gaußschen Rauschen.

Die Diffusion wird durch die vorgegebenen Parameter ν und η gesteuert. Dementsprechend definieren wir die flüssigen und magnetischen Reynolds-Zahlen mit der erzwingenden Wellenzahl kf als

Wir haben numerische Experimente zum freien Zerfall durchgeführt (Ergänzungsabschnitt 7), mit denen wir bestätigen, dass die numerischen Diffusivitäten vernachlässigbar sind.

Die spektralen kinetischen und magnetischen Energiedichten werden über definiert

wobei \({B}_{{{{\rm{rms}}}}}=\sqrt{{\langle {{{{\boldsymbol{B}}}}}^{2}\rangle }_{V }}\) ist der volumengemittelte quadratische Mittelwert und 〈ρ〉V ist die volumengemittelte Dichte.

Unser numerischer Aufbau verwendet ein deutlich vereinfachtes Turbulenzmodell im Vergleich zum tatsächlichen Modell in der Sonne. Dort werden Turbulenzen durch geschichtete rotierende Konvektion angetrieben, die natürlich weder isotherm noch isotrop ist. Allerdings waren diese Vereinfachungen bisher notwendig, wenn wir eine Parameterstudie mit so hohen Auflösungen durchführen, wie wir es tun. Dennoch können wir unsere Studie mit solaren Parametern in Bezug auf PrM und Ma verbinden. Ihre gewählten Werte repräsentieren am besten die schwach geschichteten Schichten innerhalb der Masse der solaren Konvektionszone, wo PrM ≪ 1 und Ma ≪ 1. Die Anisotropie in der Strömung auf kleinen Skalen ist dort viel schwächer als in der Nähe der Oberfläche und daher nahe an unserem vereinfachten Satz -hoch.

Daten zur Wiedergabe der Abb. 2, 3 und 5 sind im Artikel und seinen ergänzenden Informationsdateien enthalten. Die Rohdaten (Zeitreihen, Spektren, Schnitte und Schnappschüsse) werden über den IDA/Fairdata-Dienst bereitgestellt, der bei CSC, Finnland, unter https://doi.org/10.23729/206af669-07fd-4a30-9968-b4ded5003014 gehostet wird. Aus den Rohdaten, Abb. 1 und 4 können reproduziert werden.

Wir verwenden den Pencil Code48, um alle Simulationen durchzuführen, mit parallelisierten Fast-Fourier-Transformationen, um die Spektren im laufenden Betrieb zu berechnen49. Pencil Code ist unter https://github.com/pencil-code/ frei verfügbar.

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Wir bedanken uns für fruchtbare Diskussionen mit A. Brandenburg, I. Rogachevskii, A. Schekochihin und J. Schober während des Nordita-Programms zum Thema „Magnetfeldentwicklung in Plasmen niedriger Dichte oder stark geschichteter Plasmen“. Für die Rechenressourcen des CSC während des Mahti-Pilotprojekts und der Max Planck Computing and Data Facility (MPCDF) danken wir herzlich. Dieses Projekt, einschließlich aller Autoren, wurde vom Europäischen Forschungsrat (ERC) im Rahmen des Forschungs- und Innovationsprogramms Horizon 2020 der Europäischen Union gefördert (Projekt UniSDyn, Fördervereinbarungsnummer 818665). Diese Arbeit wurde in Zusammenarbeit mit dem COFFIES DRIVE Science Center durchgeführt.

Open-Access-Förderung durch die Max-Planck-Gesellschaft

Max-Planck-Institut für Sonnensystemforschung, Göttingen, Germany

Jörn Warnecke & Maarit J. Korpi-Lagg

Fakultät für Informatik, Aalto-Universität, Espoo, Finnland

Marit J. Korpi-Lagg, Frederick A. Gent & Matthias Reinhardt

Nordita, KTH Royal Institute of Technology und Universität Stockholm, Stockholm, Schweden

Maarit J. Korpi-Lagg

Fakultät für Mathematik, Statistik und Physik, Newcastle University, Newcastle upon Tyne, Großbritannien

Frederick A. Gent

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JW leitete und alle Autoren trugen zum Entwurf und zur Durchführung der numerischen Simulationen bei. JW leitete die Datenanalyse. MJK-L. war für den Erwerb der Rechenressourcen von CSC verantwortlich. Alle Autoren trugen zur Interpretation der Ergebnisse und zum Verfassen der Arbeit bei.

Correspondence to Jörn Warnecke.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Nature Astronomy dankt Hideyuki Hotta, Michael Rieder und den anderen, anonymen Gutachtern für ihren Beitrag zum Peer-Review dieser Arbeit.

Anmerkung des Herausgebers Springer Nature bleibt hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten neutral.

Ergänzende Abbildungen. 1–5, Tabellen 1–3 und Diskussionen in den ergänzenden Abschnitten 1–6 mit Referenzen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Warnecke, J., Korpi-Lagg, MJ, Gent, FA et al. Numerischer Beweis für einen kleinen Dynamo, der sich den solarmagnetischen Prandtl-Zahlen nähert. Nat Astron (2023). https://doi.org/10.1038/s41550-023-01975-1

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Eingegangen: 02. Juli 2022

Angenommen: 14. April 2023

Veröffentlicht: 18. Mai 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41550-023-01975-1

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Naturastronomie (2023)